Question

2．求函數(shù)f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$），給出下列四個命題：
①存在α∈（-$\frac{π}{2}$，0）使f（α）=$\sqrt{2}$；
②存在α∈（0，$\frac{π}{2}$），使f（x-α）=f（x+α）恒成立；
③存在α∈R，使函數(shù)f（x+α）的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱；
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{3π}{4}$對稱；
⑤函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位就能得到y(tǒng)=-2cosx的圖象．
其中正確的序號是③④．

Answer 1

分析 利用正弦型函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐一進行分析，或利用特殊值進行判定求出錯誤的命題，最終確定結(jié)果．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$），
則：①存在α∈（-$\frac{π}{2}$，0），
則：$-\frac{π}{4}＜α+\frac{π}{4}＜\frac{π}{4}$
所以：$-\sqrt{2}＜f（α）＜\sqrt{2}$
故：①錯誤．
②找不到任何一個α∈（0，$\frac{π}{2}$），使f（x-α）=f（x+α）恒成立；
故②錯誤．
③當$α=-\frac{π}{4}$時，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱．
故③正確．
④當x=-$\frac{3π}{4}$時，$f（-\frac{3π}{4}）=2sin（-\frac{3π}{4}+\frac{π}{4}$）=-2
函數(shù)達到最小值，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{3π}{4}$對稱；
故④正確．
⑤函數(shù)f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位就能得到，
y=2sin（x+$\frac{π}{2}$）=2cosx
故⑤錯誤．
故答案為：③④

點評 本題考查的知識要點：正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，周期性和對稱性圖象的平移的應(yīng)用．