Question

某城市有甲、乙、丙3個旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點(diǎn)互不影響，設(shè)ξ表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值.

（1）求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望；

（2）記“函數(shù)f(x)=x²-3ξx＋1在區(qū)間［2，＋∞)上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率.

Answer 1

思路分析： （1）寫出ξ的可能取值，利用相互獨(dú)立事件的概率公式求出P（ξ=k）（ｋ=1,3），寫出ξ的分布列，求出Eξ.（2）利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解.

解：（1）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”“客人游覽乙景點(diǎn)”“客人游覽丙景點(diǎn)”.

為事件A₁，A₂，A₃.由已知A₁，A₂，A₃相互獨(dú)立，P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6. 

客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3.相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3.

P（ξ=3）=P（A₁·A₂·A₃）+P（）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）+P（）P（）P（）=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

P（ξ=1）=1-0.24=0.76.

所以ξ的分布列為

ξ	1	3
P	0.76	0.24

Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.

（2）解法一：因?yàn)閒(x)=(x-ξ)²+1-ξ²,

所以函數(shù)f(x)=x²-3ξx+1在區(qū)間［ξ,+∞）上單調(diào)遞增，

要使f(x)在［2,+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)ξ≤2,即ξ≤.

從而P(A)=P(ξ≤)=P(ξ=1)=0.76.

解法二：ξ的可能取值為1，3.

當(dāng)ξ=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x²-3x+1在區(qū)間［2,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)ξ=3時(shí)，函數(shù)f(x)=x²-9x+1在區(qū)間［2,+∞)上不單調(diào)遞增.

所以P(A)=P(ξ=1)=0.76.

    深化升華 本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望和事件的概率等問題.一般解法是先由題意求出分布列，再由隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式代入求解即可.這一知識點(diǎn)應(yīng)是未來高考中的一個熱點(diǎn).