Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)）.

(I)寫出直線的一般方程與曲線的直角坐標(biāo)方程，并判斷它們的位置關(guān)系；

(II)將曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線，設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線，設(shè)曲線上任一點(diǎn)為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（I）極坐標(biāo)方程兩邊乘以 ，利用轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，然后將直線的參數(shù)方程的上式化簡(jiǎn)成 代入下式消去參數(shù) 即可，最后利用圓心到直線的距離與半徑比較即可判定位置關(guān)系；(II)根據(jù)伸縮變換公式求出變換后的曲線方程，然后利用參數(shù)方程表示出曲線上任意一點(diǎn)，代入 ，根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式，求出其范圍即可.

試題解析：（I）直線的一般方程為，

曲線的直角坐標(biāo)方程為.

因?yàn)?/span>，

所以直線和曲線相切.

（II）曲線為.

曲線經(jīng)過伸縮變換

得到曲線的方程為，

則點(diǎn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

所以，

所以的取值范圍為.