【題目】如圖,已知長方形ABCD中,AB=2,AD=1,M為DC的中點(diǎn).將△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM,E為BD的中點(diǎn).
(1)求證:BM⊥平面ADM;
(2)求直線AE與平面ADM所成角的正弦值.
【答案】
(1)解:△ABM中,AB=2, ,∴AM⊥BM,
又平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,且BM平面ABCM,
∴BM⊥平面ADM
(2)解:如圖,以M點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),MA所在直線為x軸,MB所在直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則M(0,0,0), , , ,
∵E為BD中點(diǎn),∴ , ,
由(1)知, 為平面ADM的一個(gè)法向量,
,
,
∴直線AE與平面ADM所成角的正弦值為
【解析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可;(2)求出平面ADM的一個(gè)法向量,求出 , 的余弦值,從而求出直線AE與平面ADM所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)
如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD, E是PD的中點(diǎn).
(1)證明:直線 平面PAB
(2)點(diǎn)M在棱PC 上,且直線BM與底面ABCD所成銳角為 ,求二面角M-AB-D的余弦值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (其中a為非零實(shí)數(shù)),且方程 有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根. (Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拖延癥總是表現(xiàn)在各種小事上,但日積月累,特別影響個(gè)人發(fā)展.某校的一個(gè)社會(huì)實(shí)踐調(diào)查小組,在對該校學(xué)生進(jìn)行“是否有明顯拖延癥”的調(diào)查中,隨機(jī)發(fā)放了110份問卷.對收回的100份有效問卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下列聯(lián)表:
有明顯拖延癥 | 無明顯拖延癥 | 合計(jì) | |
男 | 35 | 25 | 60 |
女 | 30 | 10 | 40 |
合計(jì) | 65 | 35 | 100 |
(Ⅰ)按女生是否有明顯拖延癥進(jìn)行分層,已經(jīng)從40份女生問卷中抽取了8份問卷,現(xiàn)從這8份問卷中再隨機(jī)抽取3份,并記其中無明顯拖延癥的問卷的份數(shù)為,試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)若在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為無明顯拖延癥與性別有關(guān),那么根據(jù)臨界值表,最精確的的值應(yīng)為多少?請說明理由.
附:獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,其中.
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).
(I)寫出直線的一般方程與曲線的直角坐標(biāo)方程,并判斷它們的位置關(guān)系;
(II)將曲線向左平移個(gè)單位長度,向上平移個(gè)單位長度,得到曲線,設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線,設(shè)曲線上任一點(diǎn)為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定橢圓,稱圓心在原點(diǎn),半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.
(1)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程;
(2)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn).
①當(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線的方程并證明;
②求證:線段的長為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì),某公司為了競標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言,決定對旗下的某商品進(jìn)行一次評估.該商品原來每件售價(jià)為25元,年銷售8萬件.
(1)據(jù)市場調(diào)查,若價(jià)格每提高1元,銷售量將相應(yīng)減少2000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價(jià)最多為多少元?
(2)為了抓住申奧契機(jī),擴(kuò)大該商品的影響力,提高年銷售量.公司決定立即對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革,并提高定價(jià)到x元.公司擬投入 萬作為技改費(fèi)用,投入(50+2x)萬元作為宣傳費(fèi)用.試問:當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí),才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等差數(shù)列{an} 中,已知公差 ,且a1+a3+a5+…+a99=60,則a1+a2+a3+…+a100= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面內(nèi)給定三個(gè)向量 =(3,2), =(﹣1,2), =(4,1).回答下列問題:
(1)若( +k )∥(2 ﹣ ),求實(shí)數(shù)k;
(2)設(shè) =(x,y)滿足( ﹣ )∥( + )且| ﹣ |=1,求 .
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