Question

已知函數(shù)f(x)＝lnx－mx（mR）．
（1）若曲線y＝f(x)過點(diǎn)P(1，－1)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線方程；
（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值；
（3）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，求證：x₁x₂＞e²．

Answer 1

（1）;（2）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，
③當(dāng)時(shí)，;（3）詳見解析．

試題分析：（1）根據(jù)題意首先由點(diǎn)在曲線上，運(yùn)用待定系數(shù)的方法求出，再由切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可求出切線方程為;（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得：，分析m對(duì)導(dǎo)數(shù)的影響，可見要進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性可求出最大值;②當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性可求出最大值;③當(dāng)，即時(shí)，導(dǎo)數(shù)有下有負(fù)，列表可求出函數(shù)的最大值;④當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性可求出最大值;（3）顯然兩零點(diǎn)均為正數(shù)，故不妨設(shè)，由零點(diǎn)的定義可得：，即，觀察此兩式的結(jié)構(gòu)特征可相加也可相減化簡(jiǎn)得：，現(xiàn)在我們要證明，即證明，也就是．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045008174785.png" style="vertical-align:middle;" />，所以即證明，即．由它的結(jié)構(gòu)可令＝t，則，于是．構(gòu)造一新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求此函數(shù)的最小值大于零，即可得證．
試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，解得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045008362620.png" style="vertical-align:middle;" />，所以切線的斜率為0，所以切線方程為．             3分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045007784887.png" style="vertical-align:middle;" />．
①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則．
②當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則                              5分
③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則．                                      7分
④當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則               9分
綜上，①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，
③當(dāng)時(shí)，．                        10分
（3）不妨設(shè)．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045008065772.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
可得．
要證明，即證明，也就是．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045008174785.png" style="vertical-align:middle;" />，所以即證明，即．               12分
令＝t，則，于是．
令，則．
故函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即成立．
所以原不等式成立．                                              16分