Question

函數(shù)y=a^x-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0上，其中mn＞0，則

1

m

+

2

n

的最小值為

8

．

Answer 1

分析：利用a⁰=1（a＞0且a≠1）可得函數(shù)y=a^x-2（a＞0，a≠1）的圖象所過的定點(diǎn)A，代入直線mx+ny-1=0可得m，n的關(guān)系，再利用基本不等式可得

1

m

+

2

n

的最小值．

解答：解：當(dāng)x=2時(shí)，y=a^2-2=1，∴函數(shù)y=a^x-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A（2，1）．
∵點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0上，∴2m+n=1．
∵mn＞0，∴

1

m

+

2

n

=(2m+n)(

1

m

+

2

n

)=2+2+

n

m

+

4m

n

≥4+2

n m 4n m

=8，當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=

1

2

時(shí)取等號．
因此

1

m

+

2

n

的最小值為8．
故答案為8．

點(diǎn)評：本題考查了a⁰=1（a＞0且a≠1）的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)和直線過定點(diǎn)問題，屬于基礎(chǔ)題．