Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+lnx．
（Ⅰ）若f（x）無極值點，但其導(dǎo)函數(shù)f'（x）有零點，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點，求a的取值范圍，并證明f（x）的極小值小于-

3

2

．

Answer 1

解 （Ⅰ）首先，x＞0f/(x)=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

f′（x）有零點而f（x）無極值點，表明該零點左右f′（x）同號，故a≠0，且2ax²-2x+1=0的△=0．由此可得a=

1

2

（Ⅱ）由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，a＞0．
解得：0＜a＜

1

2

設(shè)2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，
因為在區(qū)間（0，x₁），（x₂，+∞）上，f′（x）＞0，
而在區(qū)間（x₁，x₂）上，f′（x）＜0，故x₂是f（x）的極小值點．
因f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上f（x）是減函數(shù)，如能證明f(

x1+x2

2

)＜-

3

2

，則更有f(x2)＜-

3

2

由韋達定理，

x1+x2

2

=

1

2a

，f(

1

2a

)=a(

1

2a

)2-2(

1

2a

)+ln

1

2a

=ln

1

2a

-

3

2

•

1

2a

令

1

2a

=t，其中設(shè)g(t)=lnt-

3

2

t+

3

2

，
利用導(dǎo)數(shù)容易證明g（t）當(dāng)t＞1時單調(diào)遞減，而g（1）=0，
∴g（t）=lnt-

3

2

t+

3

2

＜0，
因此f（

1

2a

）＜-

3

2

，
從而有f（x）的極小值f（x₂）＜-

3

2

．