Question

（本小題滿分14分）已知， 若函數(shù)在上的最大值為，最小值為， 令.

（1）求的表達(dá)式;

（2）若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）這是區(qū)間定軸變的二次函數(shù)的最值題型，所給二次函數(shù)的對稱軸為，根據(jù)，可知對稱軸，因?yàn)榧瓷婕岸�次函�?shù)的最大值與最小值，故分，兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖像確定最值，進(jìn)而可求出的表達(dá)式；（2）根據(jù)（1）中確定的的表達(dá)式，先用證明函數(shù)單調(diào)性的方法證明函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而確定函數(shù)的值域，而關(guān)于的方程有解等價(jià)于有解，即在的值域就是的取值范圍，問題得以解決.

試題解析：(1) 1分

∵，∴

①當(dāng)，即時(shí)，則時(shí)，函數(shù)取得最大值;時(shí)，函數(shù)取得最小值.

∴，

∴ 3分

②當(dāng)，即時(shí)，則時(shí)，函數(shù)取得最大值;時(shí)，函數(shù)取得最小值.

∴，

∴. 5分

綜上，得 6分

（2）任取，且

7分

∵，且

∴

∴，即

∴

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減 8分

任取，且

9分

∵，且

∴

∴，即

∴

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增 10分

當(dāng)時(shí)，取得最小值，其值為 11分

又，

∴函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062306073284818752/SYS201506230607366296236487_DA/SYS201506230607366296236487_DA.004.png"> 12分

∵關(guān)于的方程有解等價(jià)于有解

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為函數(shù)的值域 13分

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為 14分.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；2.函數(shù)與方程；3.分類討論的思想.