Question

19．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），f（x）=$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)相應(yīng)的x的取值集合；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的解析式，并利用輔助角（和差角）公式化為正弦型函數(shù)，可得函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)相應(yīng)的x的取值集合；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{2}$sinx+$\sqrt{2}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{4}$），
當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x|x=2kπ+$\frac{π}{4}$（k∈Z）時(shí)，y_max=2．
∴f（x）_max=2，x∈{x|x=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}．…（6分）
（2）當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
解得2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$（k∈Z），
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]（k∈Z）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的恒等變量，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，難度中檔．