Question

（2012•肇慶二模）若對于定義在R上的函數(shù)f（x），其函數(shù)圖象是連續(xù)的，且存在常數(shù)λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意的實(shí)數(shù)x成立，則稱f（x）是“λ-同伴函數(shù)”．下列關(guān)于“λ-同伴函數(shù)”的敘述中正確的是（　�。�

• A．“

  1

  2

  -同伴函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)
• B．f（x）=x²是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”
• C．f（x）=log₂x是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”
• D．f（x）=0是唯一一個(gè)常值“λ-同伴函數(shù)”

Answer 1

分析：令x=0，可得f(

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2

)=-

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2

f(0)．若f（0）=0，f（x）=0有實(shí)數(shù)根；若f（0）≠0，f(

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)•f(0)=-

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2

(f(0))2＜0．可得f（x）在(0，

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2

)上必有實(shí)根，可判斷A
假設(shè)f（x）=x²是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，則有λ+1=2λ=λ²=0，解方程可判斷B
因?yàn)閒（x）=log₂x的定義域不是R可判斷C
設(shè)f（x）=C則（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時(shí)，可以取遍實(shí)數(shù)集，可判斷D

解答：解：令x=0，得f(

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)+

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2

f(0)=0．所以f(

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)=-

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f(0)．若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；若f（0）≠0，f(

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)•f(0)=-

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(f(0))2＜0．又因?yàn)閒（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在(0，

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)上必有實(shí)數(shù)根．因此任意的“

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-同伴函數(shù)”必有根，即任意“

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-同伴函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)．：A正確，
用反證法，假設(shè)f（x）=x²是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實(shí)數(shù)x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”．B錯(cuò)誤
因?yàn)閒（x）=log₂x的定義域不是R．C錯(cuò)誤
設(shè)f（x）=C是一個(gè)“λ-同伴函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時(shí)，可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個(gè)常值“λ-同伴函數(shù)”．D錯(cuò)誤，

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的概念及構(gòu)成要素，函數(shù)的零點(diǎn)，正確理解f（x）是λ-同伴函數(shù)的定義，是解答本題的關(guān)鍵．