已知正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列,且公差d≠0,求證:
1
a
,
1
b
,
1
c
不可能是等差數(shù)列.
分析:本題考查等差數(shù)列的證明、反證法的證題方法,由“不可能成等差數(shù)列”自然想到反證法,先假設(shè)數(shù)列
1
a
1
b
,
1
c
成等差數(shù)列,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推理,由推理結(jié)果矛盾使問題得證.
解答:證明(反證法):假設(shè)
1
a
,
1
b
,
1
c
成等差數(shù)列,
1
b
-
1
a
=
1
c
-
1
b
,即
a-b
ab
=
b-c
cb
兩邊乘以b,得
a-b
a
=
b-c
c

又∵a,b,c成等差數(shù)列,且公差不為零,
∴a-b=b-c≠0.由以上兩式,可知
1
a
=
1
c
..
兩邊都乘以ac,得a=c.
這與已知數(shù)列a,b,c的公差不為零,a≠c相矛盾,
所以數(shù)列
1
a
,
1
b
1
c
不可能成等差數(shù)列
點(diǎn)評(píng):反證法是一種間接證法,一般地由證明轉(zhuǎn)向證明與假設(shè)矛盾,或與某個(gè)真命題矛盾,從而判定為假,推出為真的方法叫做反證法,它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè),然后,從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過正確的推理,導(dǎo)致矛盾,從而否定相反的假設(shè),達(dá)到肯定原命題正確的一種方法.用反證法證明一個(gè)命題的步驟,大體上分為:(1)反設(shè);(2)歸謬;(3)結(jié)論.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正數(shù)a、b、c成等比數(shù)列,則下列三數(shù)也成等比數(shù)列的是( 。
A、lga lgb lgc
B、10a10b10c
C、5lga5lgb5lgc
D、
a
3a
4a

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年遼寧省沈陽市四校協(xié)作體高三12月月考數(shù)學(xué)理卷 題型:選擇題

已知正數(shù)a、b、c成等比數(shù)列,則下列三數(shù)也成等比數(shù)列的是                                    

A.     B.   C.   D.  

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知正數(shù)a、b、c成等比數(shù)列,則下列三數(shù)也成等比數(shù)列的是( 。
A.lga lgb lgcB.10a10b10c
C.5lga5lgb5lgcD.
a
3a
4a

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知正數(shù)a、b、c成等比數(shù)列,求證:a2-b2+c2≥(a-b+c)2;

(2)設(shè)a、b∈R,求證:a2+b2≥2(a-b-1).

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