Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（ I）求等差數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）如果數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且b₁=a₂，b₂=a₄，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)出公差d，又a₁=2，由a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列得到關(guān)于d的一元二次方程，求出d有兩解，分別就兩個d求出兩個通項公式；
（II）由（I）可得a₂，a₄，有兩組解，又b₁=a₂，b₂=a₄，可得兩組b₁，b₂，又知數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，可求出兩個公比q，選擇含有首項和公比的等比數(shù)列的前n項和公式，就兩種情況分別求出即可．

解答：解：（I）因為數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，a₁=2，
則a₂=2+d，a₄=2+3d，a₈=2+7d．
由a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，得a₄²=a₂a₈，
即（2+3d）²=（2+d）（2+7d）
解得d=0或d=2，
所以a_n=2或a_n=2n．
（II）①當(dāng)a_n=2時，b₁=a₂=2，b₂=a₄=2，公比q=1，
{b_n}的前n項和S_n=nb₁=2n；
②當(dāng)a_n=2n時，b₁=a₂=4，b₂=a₄=8，公比q=2，
{b_n}的前n項和Sn=

b1(1-qn)

1-q

=4(2n-1)．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的前n項和公式，已知數(shù)列為等差數(shù)列，求通項公式，求首項和公差即可，本題公差有兩個，所以有兩個通項公式；求等比數(shù)列的前n項和時，由已知準(zhǔn)確選擇公式．