Question

設球的半徑為時間t的函數(shù)R（t）．若球的表面積以均勻速度c增長，則球的體積的增長速度與球半徑（ ）
A．成正比，比例系數(shù)為
B．成反比，比例系數(shù)為
C．成反比，比例系數(shù)為c
D．成正比，比例系數(shù)為c

Answer 1

【答案】分析：求出球的體積的表達式，然后球的導數(shù)，推出8πR（t）R′（t）=c，利用面積的導數(shù)是體積，求出球的表面積的增長速度與球半徑的比例關系．
解答：解：由題意可知球的表面積為S（t）=4πR²（t），
∴V_表=S′（t）=4πR²（t）=8πR（t）R′（t）=c，
∴R（t）R′（t）=
球的體積為 ，
則V′（t）=4πR²（t）R′（t）=4πR（t）•=•R（t），
即球的體積的增長速度與球半徑成正比，且比例系數(shù)為
故選A
點評：本題考球的體積與表面積，導數(shù)的幾何意義，其中根據(jù)已知中球的表面積以均勻速度c增長，c與R（t）及R′（t）之間的關系，是解答本題的關鍵．