Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）且對任意正實(shí)數(shù)x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1且x＞1時(shí)f（x）＞0．
（1）求f（

1

2

）的值；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明；
（3）一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*），其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法求值．
（2）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性；注意應(yīng)用抽象函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)．
（3）先得出和與通項(xiàng)的關(guān)系S_n=

an(an+1)

2

，（n∈N^*），得出S _n-1=

an-1(an-1+1)

2

，n≥2，兩式相減，得出數(shù)列遞推式，再去變形，求通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=0
而令x=2，y=

1

2

，得f（1）=f（2）+f（

1

2

）
∴f（

1

2

）=-f（2）=-1，（4分）
（2）在（0，+∞）上任取兩數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
令

x2

x1

=k，則f（k）＞0
∴f（x₂）=f（kx₁）=f（k）+f（x₁）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．（8分）
（3）f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*）
=f（a_n）+f（a_n+1）+f（

1

2

）
=f[

an(an+1)

2

]，
由于f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴S_n=

an(an+1)

2

，n∈N^*）
∴S _n-1=

an-1(an-1+1)

2

，n≥2
兩式相減，有

a 2 n - a 2 n-1 +an-an-1

2

=a_n，
整理得（a_n+a_n-1）（a _n-a _n-1-1）=0
∵a_n＞0，∴a _n-a _n-1-1=0，a _n-a _n-1=1，n≥2
所以數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=

a1(a1+1)

2

，a₁=1
∴a_n=n        （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查單調(diào)性的證明，考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，正確理解題意是關(guān)鍵．