Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為l．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l過(guò)點(diǎn)P（0，2）且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程。

Answer 1

解：設(shè)橢圓方程為
（Ⅰ）由已知得
∴所求橢圓方程為．
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由，消去y
得關(guān)于x的方程：（1+2k²）x²+8kx+6=0由直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，
∴△＞064k²﹣24（1+2k²）＞0解得
又由韋達(dá)定理得
∴
=
原點(diǎn)O到直線l的距離
∵．
對(duì)兩邊平方整理得：4S²k⁴+4（S²﹣4）k²+S²+24=0（*）
∵S≠0，
整理得：
又S＞0，∴
從而S_△AOB的最大值為，
此時(shí)代入方程（*）得4k⁴﹣28k²+49=0∴
所以，所求直線方程為：．