Question

已知點(diǎn)（1，

1

3

）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0）且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n=f（n）-c（c為常數(shù)）．?dāng)?shù)列{b_n}的各項(xiàng)為正數(shù)，首項(xiàng)為c，前n項(xiàng)和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求常數(shù)c；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（I）把點(diǎn)（1，

1

3

）代入函數(shù)f（x）=a^x（a＞0）且a≠1），即可得出a．分別求出a₁，a₂，a₃，利用數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，可得

a

2 2

=a1a3，即可解出c．
（II）利用q=

a2

a1

即可得出公比q，再利用通項(xiàng)公式即可得出a_n．利用Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

，通過因式分解可得(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．進(jìn)而得出

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2）．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出S_n．當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1即可得出b_n．

解答：解：（I）∵f（1）=a=

1

3

，∴f(x)=(

1

3

)x．
∵a1=f(1)-c=

1

3

-c，a₂=T₂-T₁=[f（2）-c]-[f（1）-c]=(

1

3

)2-

1

3

=-

2

9

，
a₃=T₃-T₂=[f（3）-c]-[f（2）-c]=(

1

3

)3-(

1

3

)2=-

2

27

．
又?jǐn)?shù)列{a_n}成等比數(shù)列，∴

a

2 2

=a1a3，
∴(-

2

9

)2= (

1

3

-c)(-

2

27

)，∴c=1．
（II）由題意，數(shù)列{a_n}的公比q=

a2

a1

=

1

3

，
∴an=-

2

3

•(

1

3

)n-1=-2•(

1

3

)n（n∈N^*）．
∵Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

，
∴(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
而b_n＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2）．
即數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

Sn

=1+(n-1)•1=n，∴Sn=n2．
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又b₁=1也適合上式，
∴b_n=2n-1（n∈N^*）．

點(diǎn)評：熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及“當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1”求通項(xiàng)公式等是解題的關(guān)鍵．