已知點(diǎn)(1,
1
3
)是函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖象上一點(diǎn),等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f(n)-c,數(shù)列{bn}(bn>0)的首項(xiàng)為c,且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2).記數(shù)列{
1
bnbn+1
}前n項(xiàng)和為Tn,
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若對任意正整數(shù)n,當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),不等式t2-2mt+
1
2
>Tn恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍
(3)是否存在正整數(shù)m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比數(shù)列?若存在,求出m,n的值,若不存在,說明理由.
分析:(1)因?yàn)辄c(diǎn) (1,
1
3
)
是函數(shù)f(x)=ax的圖象上一點(diǎn),所以a=
1
3
,所以f(x)=(
1
3
)
x
,即可得到數(shù)列的前3項(xiàng),進(jìn)而求出數(shù)列的首項(xiàng)與公比,即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
因?yàn)?Sn-Sn-1=(
Sn
+
Sn-1
) (
Sn
-
Sn-1
)
=
Sn
+
Sn-1
,所以數(shù)列{
Sn
}是以1為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列,所以得到Sn,利用bn=Sn-Sn-1求出答案.
(2)利用裂項(xiàng)相消的方法可得:Tn=
1
2
(1-
1
2n+1
)<
1
2
;進(jìn)而把原不等式化簡為:當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),不等式t2-2mt>0恒成立;設(shè)g(m)=-2tm+t2,m∈[-1,1],然后利用函數(shù)的有界性解決恒成立問題即可得到答案.
(3)利用T1,Tm,Tn成等比數(shù)列,得Tm2=T1•Tn得到(
m
2m+1
)2=
1
3
×
n
2n+1
,n=
3m2
-2m2+4m+1
>m
,最后結(jié)合1<m<n知,m=2,n=12即可.
解答:解:(1)因?yàn)閒(1)=a=
1
3
,所以f(x)=(
1
3
)
x
,
所以 a1=f(1)-c=
1
3
-c
,a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-
2
9
,a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-
2
27

因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列,所以 a1=
a
2
2
a3
=-
2
3
=
1
3
-c
,所以c=1.
又公比q=
a2
a1
=
1
3
,所以 an=-2(
1
3
)
n
;
由題意可得:Sn-Sn-1=(
Sn
+
Sn-1
) (
Sn
-
Sn-1
)
=
Sn
+
Sn-1
,
又因?yàn)閎n>0,所以
Sn
-
Sn-1
=1
;
所以數(shù)列{
Sn
}是以1為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列,并且有
Sn
=n,所以Sn=n2
;
當(dāng)n≥2時(shí),bn=Sn-Sn-1=2n-1;
所以bn=2n-1.
(2)因?yàn)閿?shù)列 {
1
bnbn+1
}
前n項(xiàng)和為Tn
所以 Tn=
1
1×3
+
1
3×5
+…+
1
(2n-1)(2n+1)

=
1
2
×(1- 
1
3
 +
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
+
1
2n+1
)

=
1
2
(1-
1
2n+1
)<
1
2
;
因?yàn)楫?dāng)m∈[-1,1]時(shí),不等式 t2-2mt+
1
2
Tn
恒成立,
所以只要當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),不等式t2-2mt>0恒成立即可,
設(shè)g(m)=-2tm+t2,m∈[-1,1],
所以只要一次函數(shù)g(m)>0在m∈[-1,1]上恒成立即可,
所以
g(1)=t2-2t>0
g(-1)=t2+2t>0
,
解得t<-2或t>2,
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-∞,-2)∪(2,+∞).
(3)T1,Tm,Tn成等比數(shù)列,得Tm2=T1•Tn
(
m
2m+1
)2=
1
3
×
n
2n+1
,
n=
3m2
-2m2+4m+1
>m

結(jié)合1<m<n知,m=2,n=12(14分)
點(diǎn)評:本題綜合考查數(shù)列、不等式與函數(shù)的有關(guān)知識,解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)列求通項(xiàng)公式與求和的方法,以及把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題,然后利用函數(shù)的有關(guān)知識解決問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)(1,
1
3
)是函數(shù)f(x)=ax(a>0)且a≠1)的圖象上一點(diǎn),等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn=f(n)-c(c為常數(shù)).?dāng)?shù)列{bn}的各項(xiàng)為正數(shù),首項(xiàng)為c,前n項(xiàng)和Sn滿足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2).
(Ⅰ)求常數(shù)c;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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1
3
)是函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象上一點(diǎn),等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為f(n)-c,數(shù)列bn(bn>0)的首項(xiàng)為c,且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2).
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{
1
bnbn+1
前n項(xiàng)和為Tn,問:Tn
1000
2013
的最小正整數(shù)n是多少?

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已知點(diǎn)(1,
1
3
)是函數(shù)f(x)ax (a>0且a≠1)的圖象上一點(diǎn),等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f(n)-c,數(shù)列{bn}(bn>0)的首項(xiàng)為c,且前n項(xiàng)和Sn滿足sn-sn-1=
sn
+
sn-1
(n≥2).
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)cn=bn•(
1
3
)n
,求數(shù)列{cn}的n項(xiàng)和Rn;
(3)若數(shù)列{
1
bnbn+1
}前n項(xiàng)和為Tn,問Tn
1000
2013
的最小正整數(shù)n是多少?

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(2009•奉賢區(qū)一模)已知點(diǎn)(1,
13
)是函數(shù)f(x)=ax (a>0且,a≠1)的圖象上一點(diǎn),等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f(n)-c,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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