Question

6．已知點(diǎn)A（x，y）為函數(shù)y=$\frac{1}{x}$圖象上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若x³+y³≥a（x+y）²恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用立方和公式以及基本不等式求出式子的最大值即可得到結(jié)論．

解答 解：∵A（x，y）為函數(shù)y=$\frac{1}{x}$圖象上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，
∴x＞0，y＞0，且y=$\frac{1}{x}$，
∵x³+y³≥a（x+y）²恒成立，
∴a≤$\frac{{x}^{3}+{y}^{3}}{（x+y）^{2}}$=$\frac{（x+y）（{x}^{2}-xy+{y}^{2}）}{（x+y）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}{x+y}$=$\frac{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-1}{x+\frac{1}{x}}$=$\frac{（x+\frac{1}{x}）^{2}-3}{x+\frac{1}{x}}$=（x+$\frac{1}{x}$）-$\frac{3}{x+\frac{1}{x}}$，
設(shè)t=x+$\frac{1}{x}$，則t≥2，
則（x+$\frac{1}{x}$）-$\frac{3}{x+\frac{1}{x}}$=t-$\frac{3}{t}$，
∵y=t-$\frac{3}{t}$在[2，+∞）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)y=t-$\frac{3}{t}$取得最小值為y=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
則a≤$\frac{1}{2}$，
故答案為：（-∞，$\frac{1}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法，立方和公式以及基本不等式求出最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．