Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，求a的值；
（2）若不等式f（x）+f（﹣x）≥mt+m對任意x∈R，t∈[﹣2，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，得f（x）=f（﹣x）恒成立，

則 ，

∴ ，

∴（2a+1）x=0恒成立，則2a+1=0，故

（2）解：

= ．

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，

∴mt+m≤1對任意t∈[﹣2，1]恒成立，

令h（t）=mt+m，

由 ，解得 ，

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．

【解析】（1）由偶函數(shù)的定義f（﹣x）=f（x）恒成立可求；（2）不等式f（x）+f（﹣x）≥mt+m對任意x∈R成立，等價(jià)于[f（x）+f（﹣x）]min≥mt+m，利用基本不等式可求得[f（x）+f（﹣x）]min ， 然后構(gòu)造關(guān)于t的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可求得m范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇才能正確解答此題．