Question

關(guān)于x的方程x²+mx+2=0（m∈R）的一個根是1+ni（n∈R⁺），在復(fù)平面上的一點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|z-m-ni|的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意求得方程的另一個根為 1-ni，由根與系數(shù)的關(guān)系可得m=-2，n²=1．滿足|z|=1的復(fù)數(shù)z在以原點O為
圓心的單位圓上，而|z-m-ni|表示點z到點M（m，n）的距離，求得|OM|的值，即可得到|z-m-ni|的取值范圍．
解答：解：∵關(guān)于x的方程x²+mx+2=0（m∈R）的一個根是1+ni（n∈R⁺），∴另一個根為 1-ni，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得 （1+ni）+（1-ni）=-m，且 （1+ni）（1-ni）=2．
解得 m=-2，n²=1．
滿足|z|=1的復(fù)數(shù)z在以原點O為圓心的單位圓上，而|z-m-ni|表示點z到點M（m，n）的距離．
而|OM|===，故|z-m-ni|的最小值為 -1，最大為 +1
故|z-m-ni|的取值范圍為[-1，+1]，
故答案為[-1，+1]．
點評：本題主要考查韋達定理、復(fù)數(shù)的模的定義，以及兩個復(fù)數(shù)的差的絕對值的意義，屬于基礎(chǔ)題．