Question

（2013•徐州三模）已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a+2（a≥0），an+1=

an+a 2

，n∈N^*．
（1）若a=0，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=|a_n+1-a_n|，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：S_n＜a₁．

Answer 1

分析：（1）由a=0可得a₁=2，an+1=

an 2

，兩邊同時(shí)平方后再同時(shí)取對(duì)數(shù)后可得lgan+1+lg2=

1

2

(lgan+lg2)，從而可得數(shù)列{lga_n+lg2}為公比的等比數(shù)列．結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求lga_n，進(jìn)而可求a_n
（2）由已知an+1=

an+a 2

，可得2

a

2 n+1

=an+a，n≥2時(shí)，2

a

2 n

=an-1+a，兩式相減可得a_n+1-a_n＜0，從而有b_n=|a_n+1-a_n|=-（a_n+1-a_n），然后再利用疊加法可求和，即可證明

解答：解：（1）若a=0時(shí)，a₁=2，an+1=

an 2

，
所以an+12=

1

2

an且a_n＞0．
兩邊取對(duì)數(shù)，得lg2+2lga_n+1=lga_n，…（2分）
化為lgan+1+lg2=

1

2

(lgan+lg2)，
因?yàn)閘ga₁+lg2=2lg2，
所以數(shù)列{lga_n+lg2}是以2lg2為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．…（4分）
所以lgan+lg2=2(

1

2

)n-1lg2，所以an=222-n-1．…（6分）
（2）由an+1=

an+a 2

，得2

a

2 n+1

=an+a，①
當(dāng)n≥2時(shí)，2

a

2 n

=an-1+a，②
①-②，得2（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1，…（8分）
由已知a_n＞0，所以a_n+1-a_n與a_n-a_n-1同號(hào)．…（10分）
因?yàn)?span id="lcwqxhz" class="MathJye">a2=

a+1

，且a＞0，所以

a

2 1

-

a

2 2

=(a+2)2-(a+1)=a2+3a+3＞0恒成立，
所以a₂-a₁＜0，所以a_n+1-a_n＜0．…（12分）
因?yàn)閎_n=|a_n+1-a_n|，所以b_n=-（a_n+1-a_n），
所以S_n=-[（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n+1-a_n）]=-（a_n+1-a₁）=a₁-a_n+1＜a₁．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列 的通項(xiàng)公式及疊加法求解數(shù)列的和 方法的應(yīng)用，試題具有一定的綜合性