Question

10．橢圓的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，橢圓上存在點(diǎn)P使得$∠{F_1}P{F_2}=\frac{2π}{3}$，則橢圓的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}）$
• B． $[{\frac{1}{2}，1}）$
• C． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$
• D． $（{0，\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 先根據(jù)橢圓定義得到|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁，再利用余弦定理得到余弦定理得cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$=$\frac{（a+{ex}_{1}）^{2}+（a-e{x}_{1}）^{2}-4{c}^{2}}{2（a+e{x}_{1}）（a-e{x}_{1}）}$，求出 x₁²=$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$，利用橢圓的范圍列出不等式求出離心率的范圍．

解答 解：設(shè)，P（x₁，y₁），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），c＞0，
則|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得 cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$=$\frac{（a+{ex}_{1}）^{2}+（a-e{x}_{1}）^{2}-4{c}^{2}}{2（a+e{x}_{1}）（a-e{x}_{1}）}$，
解得   x₁²=$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$，．
∵x₁²∈（0，a²]，
∴0≤$\frac{4{c}^{2}-3{a}^{2}}{{e}^{2}}$＜a2，
即4c²-3a²≥0．且e²＜1
∴e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故橢圓離心率的取范圍是 e∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．當(dāng)P點(diǎn)在短軸的端點(diǎn)時(shí)∠F₁PF₂值最大，這個(gè)結(jié)論可以記住它．在做選擇題和填空題的時(shí)候直接拿來解決這一類的問題．