Question

19．已知函數(shù)$f（x）={x^2}-\frac{a}{2}lnx$的圖象在點(diǎn)$（\frac{1}{2}，f（\frac{1}{2}））$處的切線斜率為0．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若$g（x）=f（x）+\frac{1}{2}mx$在區(qū)間（1，+∞）上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，求出$f'（x）=2x-\frac{a}{2x}$．利用切線的斜率為0，求出a，利用導(dǎo)函數(shù)的符號，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）求出$g'（x）=2x-\frac{1}{2x}+\frac{m}{2}=\frac{{4{x^2}+mx-1}}{2x}=0$，求解極值點(diǎn)，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合g（x）在區(qū)間（1，+∞）上沒有零點(diǎn)，推出g（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，得$\frac{1}{2}m＞\frac{lnx}{2x}-x$，令$y=\frac{lnx}{2x}-x$，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，然后推出m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）={x^2}-\frac{a}{2}lnx$的定義域為（0，+∞），$f'（x）=2x-\frac{a}{2x}$．
因為$f'（\frac{1}{2}）=1-a=0$，所以a=1，$f（x）={x^2}-\frac{1}{2}lnx$，$f'（x）=2x-\frac{1}{2x}=\frac{（2x-1）（2x+1）}{2x}$．
令f'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{2}$，令f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{2}$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（\frac{1}{2}，+∞）$，單調(diào)遞減區(qū)間是$（0，\frac{1}{2}）$．
（Ⅱ）$g（x）={x^2}-\frac{1}{2}lnx+\frac{1}{2}mx$，由$g'（x）=2x-\frac{1}{2x}+\frac{m}{2}=\frac{{4{x^2}+mx-1}}{2x}=0$，得$x=\frac{{-m+\sqrt{{m^2}+16}}}{8}$，
設(shè)${x_0}=\frac{{-m+\sqrt{{m^2}+16}}}{8}$，所以g（x）在（0，x₀]上是減函數(shù)，在[x₀，+∞）上為增函數(shù)．
因為g（x）在區(qū)間（1，+∞）上沒有零點(diǎn)，所以g（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
由g（x）＞0，得$\frac{1}{2}m＞\frac{lnx}{2x}-x$，令$y=\frac{lnx}{2x}-x$，則$y'=\frac{2-2lnx}{{4{x^2}}}-1$=$\frac{{2-2lnx-4{x^2}}}{{4{x^2}}}$．
當(dāng)x＞1時，y'＜0，所以$y=\frac{lnx}{2x}-x$在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
所以當(dāng)x=1時，y_max=-1，故$\frac{1}{2}m≥-1$，即m∈[-2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值以及最值的求法，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．