如圖所示，在直三棱柱ABC- 中，，D為棱的中點.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）設平面與平面ABD所成的角為，求cos;

（Ⅲ）在棱AB上是否存在一點E，使DE//平面？證明你的結論.

解證：（Ⅰ）

∵三棱柱ABC-為直三棱柱，∴

∵

平面

∵，則

∵中，∴

∵四邊形為正方形

∴

∵

（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系

由（Ⅰ）可知平面的法向量為設為平面ABD的法向量.

則即

令z=1,則

∴

又平面與平面ABD所成角為銳角，

∴cos=cos

（Ⅲ）當點E為棱AB的中點時，DE//平面

證明如下：

如圖取的中點F，連EF，F(xiàn)D，DE

∵D，E，F(xiàn)分別為的中點；

∴EF//

∵

∴EF//平面

同理可證FD//平面

∵

∴平面EFD//平面

∵DE平面EFD

∴DE//

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