Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知M是棱AB的中點(diǎn)．求證：
（1）B₁C⊥平面ABC₁，
（2）直線AC₁∥平面B₁MC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得B₁C⊥BC₁，從而AB⊥平面BCC₁B₁，進(jìn)而B₁C⊥AB，由此能證明B₁C⊥平面ABC₁．
（2）連結(jié)BC₁交CB₁于N，連結(jié)MN，由已知條件得MN∥AC₁，由此能證明直線AC₁∥平面B₁MC．

解答： 證明：（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C⊥BC₁，
∴AB⊥平面BCC₁B₁，
∵CB₁?平面BCC₁B₁，
∴B₁C⊥AB，
又∵AB∩BC₁=B，
∴B₁C⊥平面ABC₁，
（2）如圖，連結(jié)BC₁交CB₁于N，連結(jié)MN，
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∴N是BC₁的中點(diǎn)，
又∵M(jìn)是棱AB的中點(diǎn)，
∴MN∥AC₁，
又∵M(jìn)N?平面B₁MC，AC₁?平面B₁MC，
∴直線AC₁∥平面B₁MC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．