Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左右焦點(diǎn)，A₁，A₂；B₁，B₂分別為橢圓的長軸和短軸的端點(diǎn)（如圖）．若四邊形B₁F₁B₂F₂的面積為2

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與橢圓C的右焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)N（5，2）任意作一條直線l，交拋物線E于A，B兩點(diǎn)．證明：以AB為直徑的所有圓是否過拋物線E上一定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由四邊形B₁F₁B₂F₂的面積為2

3

．可得bc=

3

．由橢圓的離心率為

1

2

，可得

c

a

=

1

2

，再與a²=b²+c²聯(lián)立即可解出．
（II）拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與橢圓C的右焦點(diǎn)（1，0）重合，可得

p

2

=1，得到拋物線E的方程為：y²=4x．設(shè)過點(diǎn)N（5，2）任意作一條直線l：x-5=m（y-2），交拋物線E于A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)兩點(diǎn)．直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，假設(shè)以AB為直徑的所有圓過拋物線E上一定點(diǎn)M(

t2

4

，t)．
則

MA

•

MB

=0，解出即可．

解答： 解：（I）∵四邊形B₁F₁B₂F₂的面積為2

3

．∴

1

2

×2c×b×2=2

3

，化為bc=

3

．
∵橢圓的離心率為

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，
聯(lián)立

bc= 3 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a=2，c=1，b²=3．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）∵拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與橢圓C的右焦點(diǎn)（1，0）重合，
∴

p

2

=1，解得p=2．∴拋物線E的方程為：y²=4x．
設(shè)過點(diǎn)N（5，2）任意作一條直線l：x-5=m（y-2），交拋物線E于A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)兩點(diǎn)．
聯(lián)立

x-5=m(y-2) y2=4x

，
化為y²-4my+8m-20=0．△=16m²-4（8m-20）=16（m²-2m+5）＞0．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=8m-20．（*）
假設(shè)以AB為直徑的所有圓過拋物線E上一定點(diǎn)M(

t2

4

，t)．
則

MA

•

MB

=0，
∴

y 2 1 -t2

4

•

y 2 2 -t2

4

+(y1-t)(y2-t)=0．
化為(y1y2)2-t2[(y1+y2)2-2y1y2]+t⁴+16[y1y2-t(y1+y2)+t2]=0．
把（*）代入得：（8m-20）²-t²[16m²-2（8m-20）]+t⁴+16（8m-20-4mt+t²）=0，
化為（64-16t²）m²+（16t²-64t-192）m+t⁴-24t²+80=0，
此方程對于任意實(shí)數(shù)m恒成立，則

64-16t2=0 16t2-64t-192=0 t4-24t2+80=0

，解得t=-2．
∴以AB為直徑的所有圓過拋物線E上一定點(diǎn)M（1，-2）．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線方程與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．