【題目】已知橢圓的焦距為,且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)A是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn),橢圓上是否存在兩點(diǎn)M,N,使得△AMN是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)說明有幾個(gè),并求出直線MN;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在,有3個(gè).
【解析】
試題先用待定系數(shù)法求出橢圓方程,因?yàn)?/span>,直角邊AM,AN不可能垂直或平行于軸,設(shè)的斜率為,則的斜率為,寫出的直線方程,分別與橢圓方程聯(lián)立,解出點(diǎn)的坐標(biāo),同理把,寫出點(diǎn)的坐標(biāo),求出,由,列出方程求出值.
試題解析:(Ⅰ)由題解得,.所以橢圓Ω的方程為.
(Ⅱ)由題意可知,直角邊AM,AN不可能垂直或平行于軸,故可設(shè)AM所在直線的方程為,不妨設(shè),則直線AM所在的方程為.
聯(lián)立方程消去整理得,解得,將代入可得,故點(diǎn) .
所以.
同理可得,由,得,
所以,則,解得或.
當(dāng)AM斜率時(shí),AN斜率;當(dāng)AM斜率時(shí),AN斜率;當(dāng)AM斜率時(shí),AN斜率.
綜上所述,符合條件的三角形有個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們國家正處于老齡化社會(huì)中,老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬,其中老人(年齡60歲及以上)人數(shù)約有66萬,為了了解老人們的健康狀況,政府從老人中隨機(jī)抽取600人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評(píng)估,健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個(gè)等級(jí),并以80歲為界限分成兩個(gè)群體進(jìn)行統(tǒng)計(jì),樣本分布被制作成如下圖表:
(1)若采用分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進(jìn)一步了解他們的生活狀況,則兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人?
(2)估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比;
(3)據(jù)統(tǒng)計(jì)該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入,政府計(jì)劃為這部分老人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼,標(biāo)準(zhǔn)如下:
①80歲及以上長者每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼200元;
②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼120元;
③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補(bǔ)貼100元.
利用樣本估計(jì)總體,試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算.(單位:億元,結(jié)果保留兩位小數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩個(gè)不共線的向量滿足, , .
(1)若與垂直,求的值;
(2)當(dāng)時(shí),若存在兩個(gè)不同的使得成立,求正數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) .若曲線在點(diǎn)處的切線方程為(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司銷售甲、乙兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測,甲產(chǎn)品的利潤(萬元)與投資額(萬元)成正比,其關(guān)系如圖所示;乙產(chǎn)品的利潤(萬元)與投資額(萬元)的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系式如圖所示.
(1)分別將甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資額的函數(shù);
(2)若該公司投資萬元資金,并全部用于甲、乙兩種產(chǎn)品的營銷,問:怎樣分配這萬元投資,才能使公司獲得最大利潤?其最大利潤為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè), 分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn), 為雙曲線的左頂點(diǎn),以, 為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于, 兩點(diǎn),且滿足,則該雙曲線的離心率為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列中,在直線.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令,數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(ⅰ)求;
(ⅱ)是否存在整數(shù)λ,使得不等式(-1)nλ< (n∈N)恒成立?若存在,求出λ的取值的集合;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)的最小值為,求證:;
(3)求證:對(duì)任意的正整數(shù),都有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐的底面為平行四邊形,且,, 分別為中點(diǎn),過作平面分別與線段相交于點(diǎn).
(Ⅰ)在圖中作出平面使面‖ (不要求證明);
(II)若,在(Ⅰ)的條件下求多面體的體積.
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