【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)的最小值為,求證:;
(3)求證:對任意的正整數(shù),都有.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1) 題意知f′(x)=ex-a≥0對x∈R恒成立,ex>0進(jìn)而得到結(jié)果;(2)由a>0,及f′(x)=ex-a,得到函數(shù)的單調(diào)性,故得到函數(shù)f(x)的最小值為g(a)=f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1,再對這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性和最值,進(jìn)而得到結(jié)果;(3)由前一問得到(x+1)n+1<(ex)n+1=e(n+1)x令,得到,再賦值:依次代入上述不等式,做和,放縮,利用等比數(shù)列求和公式可得到結(jié)果.
(1)由題意知f′(x)=ex-a≥0對x∈R恒成立,且ex>0,
故a的取值范圍為(-∞,0].
(2)證明:由a>0,及f′(x)=ex-a,
可得函數(shù)f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,
故函數(shù)f(x)的最小值為g(a)=f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1,則g′(a)=-lna,
故當(dāng)a∈(0,1)時(shí),g′(a)>0,
當(dāng)a∈(1,+∞)時(shí),g′(a)<0,
從而可知g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,且g(1)=0,
故g(a)≤0.
(3)證明:由(2)可知,當(dāng)a=1時(shí),
總有f(x)=ex-x-1≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立.即當(dāng)x+1>0且x≠0時(shí),總有ex>x+1.于是,可得(x+1)n+1<(ex)n+1=e(n+1)x.
令x+1=,即x=-,可得;
令x+1=,即x=-,可得;
令x+1=,即x=-,可得;
……
令x+1=,即x=-,可得.
累加可得
.
故對任意的正整數(shù)n,都有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高中在校學(xué)生2000人為了響應(yīng)“陽光體育運(yùn)動”號召,學(xué)校舉行了跑步和登山比賽活動每人都參加而且只參與了其中一項(xiàng)比賽,各年級參與比賽人數(shù)情況如表:
高一年級 | 高二年級 | 高三年級 | |
跑步 | a | b | c |
登山 | x | y | z |
其中a:b::3:5,全校參與登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的,為了了解學(xué)生對本次活動的滿意程度,現(xiàn)用分層抽樣方式從中抽取一個(gè)100個(gè)人的樣本進(jìn)行調(diào)查,則高二年級參與跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取
A. 6人B. 12人C. 18人D. 24人
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)A是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn),橢圓上是否存在兩點(diǎn)M,N,使得△AMN是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,請說明有幾個(gè),并求出直線MN;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題:
①殘差平方和越小的模型,擬合的效果越好;
②用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果,越小,說明模型擬合的效果越好;
③散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在回歸直線附近;
④隨機(jī)誤差滿足,其方差的大小可用來衡量預(yù)報(bào)精確度.
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和, 是等差數(shù)列,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為,(t為參數(shù)).
(1)若a=-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為,求a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法錯(cuò)誤的是
A. 棱柱的側(cè)面都是平行四邊形
B. 所有面都是三角形的多面體一定是三棱錐
C. 用一個(gè)平面去截正方體,截面圖形可能是五邊形
D. 將直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)將, 的方程化為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線?
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為.若上的點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為,點(diǎn)在上,點(diǎn)為的中點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最小值.
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