如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為矩形,SA⊥平面ABCD,二面角S-CD-A的平面角為45°,M為AB中點,N為SC中點.
(1)證明:MN∥平面SAD;
(2)證明:平面SMC⊥平面SCD;
(3)若,求實數(shù)λ的值,使得直線SM與平面SCD所成角為30°.

【答案】分析:(1)取SD中點E,連接AE,NE,由三角形中位線定理,及M為AB中點,可證明四邊形AMNE為平行四邊形,則MN∥AE,由線面平行的判定定理即可得到MN∥平面SAD;
(2)由已知中SA⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形可得,SA⊥CD,AD⊥CD,由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面SAD,則∠SDA即為二面角S-CD-A的平面角,結(jié)合已知中二面角S-CD-A的平面角為45°,可得△SAD為等腰直角三角形,則AE⊥SD,結(jié)合CD⊥AE及線面垂直的判定定理,可得AE⊥平面SCD,則MN⊥平面SCD,最終由面面垂直的判定定理可得
平面SMC⊥平面SCD
(3)若,設AD=SA=a,則CD=λa,結(jié)合(2)的結(jié)論,可得∠MSN即為直線SM與平面SCD所成角,等于30°,解三角形SAM,即可求出λ值.
解答:證明:(1)取SD中點E,連接AE,NE,
,
∴四邊形AMNE為平行四邊形,∴MN∥AE…(1分)
又∵MN?平面SAD…(3分)
(2)∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥CD,∵底面ABCD為矩形,∴AD⊥CD,
又∵SA∩AD=A,∴CD⊥平面SAD,∴CD⊥SD∴∠SDA即為二面角S-CD-A的平面角,
即∠SDA=45°…(5分)∴△SAD為等腰直角三角形,∴AE⊥SD∵CD⊥平面SAD,∴CD⊥AE,
又SD∩CD=D,∴AE⊥平面SCD∵MN∥AE,∴MN⊥平面SCD,∵MN?平面SMC,∴平面SMC⊥平面SCD…(8分)
(3)∵,設AD=SA=a,則CD=λa
由(2)可得MN⊥平面SCD,∴SN即為SM在平面SCD內(nèi)的射影∴∠MSN即為直線SM與平面SCD所成角,
即∠MSN=30°…(9分)
而MN=AE=,∴Rt△SAM中,,而,∴Rt△SAM中,由,解得λ=2
當λ=2時,直線SM與平面SCD所成角為30°(14分)
點評:本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角,其中熟練掌握空間直線與平面平行、垂直、夾角的定義、判定、性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐S-ABCD中,AD∥BC且AD⊥CD;平面CSD⊥平面ABCD,CS⊥DS,CS=2AD=2;E為BS的中點,CE=
2
,AS=
3
,求:
(Ⅰ)點A到平面BCS的距離;
(Ⅱ)二面角E-CD-A的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱SD⊥底面ABCD,E、F分別是AB、SC的中點
(1)求證:EF∥平面SAD
(2)設SD=2CD,求二面角A-EF-D的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐S-ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠BAD=∠ABC=90°,SA=AB=AD=
1
3
BC=1
,E為SD的中點.
(1)若F為底面BC邊上的一點,且BF=
1
6
BC
,求證:EF∥平面SAB;
(2)底面BC邊上是否存在一點G,使得二面角S-DG-A的正切值為
2
?若存在,求出G點位置;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱SD⊥底面ABCD,E,F(xiàn)分別為AB,SC的中點.
(1)證明EF∥平面SAD;
(2)設SD=2DC,求二面角A-EF-D的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.底面ABCD為矩形,AD=
2
a,AB=
3
a
,SA=SD=a.
(Ⅰ)求證:CD⊥SA;
(Ⅱ)求二面角C-SA-D的大小.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案