【題目】海南沿海某次超強臺風(fēng)過后,當(dāng)?shù)厝嗣穹e極恢復(fù)生產(chǎn),焊接工王師傅每天都很忙碌.一天他遇到了一個難題:如圖所示,有一塊扇形鋼板,半徑為米,圓心角,施工要求按圖中所畫的那樣,在鋼板上裁下一塊平行四邊形鋼板,要求使裁下的鋼板面積最大.請你幫助王師傅解決此問題.連接,設(shè),過作,垂足為.
(1)求線段的長度(用來表示);
(2)求平行四邊形面積的表達式(用來表示);
(3)為使平行四邊形面積最大,等于何值?最大面積是多少?
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【題目】為了參加某運動會,從四支較強的排球隊中選出18人組成女子排球國家隊,隊員來源人數(shù)如下表:
隊別 | 北京 | 上海 | 天津 | 八一 |
人數(shù) | 4 | 6 | 3 | 5 |
(1)從這18名隊員中隨機選出兩名,求兩人來自同一隊的概率;
(2)若要求選出兩名隊員擔(dān)任正副隊長,設(shè)其中來自北京隊的人數(shù)為,求隨機變量的分布列.
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【題目】如圖,在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,P為棱C1D1的中點,Q為棱BB1上的點,且BQ=λBB1(λ≠0).
(1)若 ,求AP與AQ所成角的余弦值;
(2)若直線AA1與平面APQ所成的角為45°,求實數(shù)λ的值.
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【題目】已知以點為圓心的圓被直線:截得的弦長為.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求過與圓相切的直線方程;
(3)若是軸的動點,,分別切圓于,兩點.試問:直線是否恒過定點?若是,求出恒過點坐標(biāo);若不是,說明理由.
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【題目】已知數(shù)列的首項為1,且,數(shù)列滿足,,對任意,都有.
(1)求數(shù)列、的通項公式;
(2)令,數(shù)列的前項和為.若對任意的,不等式恒成立,試求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】根據(jù)國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定:居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米,PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米.我市環(huán)保局隨機抽取了一居民區(qū)2016年20天PM2.5的24小時平均濃度(單位:微克/立方米)的監(jiān)測數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表:
組別 | PM2.5濃度 | 頻數(shù)(天) | 頻率 |
第一組 | (0,25] | 3 | 0.15 |
第二組 | (25,50] | 12 | 0.6 |
第三組 | (50,75] | 3 | 0.15 |
第四組 | (75,100] | 2 | 0.1 |
(1)將這20天的測量結(jié)果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖. ①求圖4中a的值;
②求樣本平均數(shù),并根據(jù)樣本估計總體的思想,從PM2.5的年平均濃度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善?并說明理由.
(2)將頻率視為概率,對于2016年的某3天,記這3天中該居民區(qū)PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】如圖所示,球的表面積為,球心為空間直角坐標(biāo)系的原點,且球分別與軸的正交半軸交于三點,已知球面上一點.
(1)求兩點在球上的球面距離;
(2)過點作平面的垂線,垂足,求的坐標(biāo),并計算四面體的體積;
(3)求平面與平面所成銳二面角的大小.
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【題目】(本小題滿分12分)一個盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字,,,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同。隨機有放回地抽取次,每次抽取張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為,,.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的數(shù)字,,不完全相同”的概率.
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