【題目】已知數(shù)列的首項為1,且
,數(shù)列
滿足
,
,對任意
,都有
.
(1)求數(shù)列、
的通項公式;
(2)令,數(shù)列
的前
項和為
.若對任意的
,不等式
恒成立,試求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(Ⅰ),
;(Ⅱ)
【解析】
試題(1)由,得
,又
,兩式相減得
,整理得
,即
,又因為
,
,
利用累積法得,
從而可求出數(shù)學的通項公式為
;
在數(shù)列中,由
,得
,且
,
所以數(shù)學是以首項為
,公比為
的等比數(shù)列,從而數(shù)列
的通項公式為
.
(2)由題意得,
,
兩式相減得,
由等比數(shù)列前項和公式可求得
,
由不等式恒成立,得
恒成立,
即(
)恒成立,
構(gòu)造函數(shù)(
),
當時,
恒成立,則
不滿足條件;
當時,由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立;
當時,
恒成立,則
滿足條件.
綜上所述,實數(shù)的取值范圍是
.
試題解析:(1)∵,∴
(
),兩式相減得,
,
∴,即
(
),又因為
,
,從而
∴(
),
故數(shù)列的通項公式
(
).
在數(shù)列中,由
,知數(shù)列
是等比數(shù)列,首項、公比均為
,
∴數(shù)列的通項公式
.
(2)∴①
∴②
由①-②,得,
∴,
不等式即為
,
即(
)恒成立.
方法一、設(shè)(
),
當時,
恒成立,則
不滿足條件;
當時,由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立;
當時,
恒成立,則
滿足條件.
綜上所述,實數(shù)λ的取值范圍是.
方法二、也即(
)恒成立,
令.則
,
由,
單調(diào)遞增且大于0,∴
單調(diào)遞增∴
∴實數(shù)λ的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義域為(0,+∞)的單調(diào)函數(shù),若對任意的x∈(0,+∞),都有 ,且方程|f(x)﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間(0,3]上有兩解,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.0<a≤5
B.a<5
C.0<a<5
D.a≥5
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓 (a>b>0)的離心率為
,焦點到相應(yīng)準線的距離為1.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若P為橢圓上的一點,過點O作OP的垂線交直線 于點Q,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩個同學分別拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子.
(1)求他們拋擲的骰子向上的點數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率;
(2)求甲拋擲的骰子向上的點數(shù)不大于乙拋擲的骰子向上的點數(shù)的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】海南沿海某次超強臺風過后,當?shù)厝嗣穹e極恢復(fù)生產(chǎn),焊接工王師傅每天都很忙碌.一天他遇到了一個難題:如圖所示,有一塊扇形鋼板,半徑為米,圓心角
,施工要求按圖中所畫的那樣,在鋼板
上裁下一塊平行四邊形鋼板
,要求使裁下的鋼板面積最大.請你幫助王師傅解決此問題.連接
,設(shè)
,過
作
,垂足為
.
(1)求線段的長度(用
來表示);
(2)求平行四邊形面積的表達式(用
來表示);
(3)為使平行四邊形面積最大,
等于何值?最大面積是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)問:能否為偶函數(shù)?請說明理由;
(2)總存在一個區(qū)間,當
時,對任意的實數(shù)
,方程
無解,當
時,存在實數(shù)
,方程
有解,求區(qū)間
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面)中,
,
,
,
.
(1)證明:平面
;
(2)若是
的中點,在線段
上是否存在一點
使
平面
?若存在,請確定點
的位置;若不存在,也請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】十九大指出中國的電動汽車革命早已展開,通過以新能源汽車替代汽/柴油車,中國正在大力實施一項將重塑全球汽車行業(yè)的計劃.年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備,通過市場分析,全年需投入固定成本
萬元,每生產(chǎn)
(百輛),需另投入成本
萬元,且
.由市場調(diào)研知,每輛車售價
萬元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.
(1)求出2018年的利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量
(百輛)的函數(shù)關(guān)系式;(利潤=銷售額-成本)
(2)2018年產(chǎn)量為多少百輛時,企業(yè)所獲利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{},Sn為前n項和,且S10=10,S30=70,那么S40=______
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