Question

已知函數(shù)f（x）=axlnx，在點（e，f（e））處的切線與直線4x-y=0平行．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[m，m+2]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）=axlnx，
所以定義域為（0，+∞），f'（x）=a（lnx+1）．…..（2分）
因為在點（e，f（e））處的切線與直線4x-y=0平行，
所以f'（e）=4，即a（lne+1）=4．…..（4分）
所以a=2．
所以f（x）=2xlnx．…..（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）f'（x）=2（lnx+1），
令f'（x）=0，得x=

1

e

．
當x∈(0，

1

e

)時，f'（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在(0，

1

e

)上單調(diào)遞減；
當x∈(

1

e

，+∞)時，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f(x)在(

1

e

，+∞)上單調(diào)遞增．
所以①若

1

e

∈(m，m+2)時，函數(shù)f（x）的最小值是f(

1

e

)=-

2

e

；
若

1

e

≤m＜m+2時，函數(shù)f（x）在[m，m+2]上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的最小值是f（m）=2mlnm．…..（13分）