Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AD=2BC=2CD．
（1）在線段AD上確定一點M，使得平面PBM⊥平面PAD，并說明理由；
（2）若二面角P-CD-A的大小為45°，求二面角P-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如圖，當(dāng)點M為AD的中點時，平面PBM⊥平面PAD，只需證明BM⊥平面PAD即可．
（2）分別以AD，AP所在的直線為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，其中x軸∥BM，易得CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，PA⊥AD，所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，大小為45°，所以PA=AD，設(shè)BC=CD=1，則AD=PA=2，所以P（0，0，1），B（-1，1，0），C（-1，2，0），利用法向量求解即可，

解答 解：（1）如圖，當(dāng)點M為AD的中點時，平面PBM⊥平面PAD，（1分）
理由如下：
因為AD∥BC，AD=2BC，M為AD的中點，
所以MD∥BC，MD=BC，所以四邊形BCDM為平行四邊形，所以BM∥CD，
因為AD⊥CD，所以BM⊥AD，
因為PA⊥平面ABCD，BM?平面ABCD，所以PA⊥BM，又因為AD∩PA=A，
所以BM⊥平面PAD，因為BM?平面PBM，所以平面PBM⊥平面PAD，
所點點M為AD的中點時，平面PBM⊥平面PAD．（5分）
（2）分別以AD，AP所在的直線為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
其中x軸∥BM，易得CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，PA⊥AD，
所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，大小為45°，所以PA=AD，（7分）
設(shè)BC=CD=1，則AD=PA=2，
所以P（0，0，1），B（-1，1，0），C（-1，2，0），
所以$\overrightarrow{PB}=（-1，1，-2），\overrightarrow{BC}=（0，1，0）$，（8分）
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{PB}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BC}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-x+y-2z=0\\ y=0\end{array}\right.$，
令x=2，則y=0，z=-1，所以$\overrightarrow{n_1}=（2，0，-1）$，（10分）
因為PA⊥平面ABCD，所以$\overrightarrow{n_2}=（0，0，1）$是平面BCA的一個法向量，
設(shè)二面角P-CD-A的大小為θ，由圖可知θ為銳角，
則$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}|}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{1}{{\sqrt{5}×1}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．（12分）

點評 本題考查了空間動點問題，向量法求解二面角，屬于中檔題．