Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，其準線與y軸的交點為M，過焦點F且斜率為k（k≠0）的直線l與拋物線C交于A、B兩點．
（Ⅰ）若A、B兩點到y(tǒng)軸的距離之差為4k，求p的值；
（Ⅱ）設分別以A、B兩點為切點的拋物線C的兩切線相交于點N，若

MA

•

MB

=4p²，三角形ABN的面積S∈[5

5

，45

5

]，求k的值及p的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）如圖所示，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＞x₂）．直線AB的方程為：y=kx+

p

2

．與拋物線方程聯(lián)立可得x²-2pkx-p²=0，利用根與系數(shù)的關系可得x₁-x₂=

(x1+x2)2-4x1x2

=4k，即可解得p．
（II）由于

MA

•

MB

=4p²，可得x1x2+(y1+

p

2

)(y2+

p

2

)=4p²，（1+k²）x₁x₂+pk（x₁+x₂）+p²=4p²，解得：k=±2．對于拋物線方程x²=2py，可得y′=

x

p

．直線AN的方程為：y-y1=

x1

p

(x-x1)，BN的方程y-y2=

x2

p

(x-x2)．聯(lián)立解得N(pk，-

p

2

)．利用點到直線的距離公式可得：點N到直線AB的距離d=

|pk2+ p 2 |

k2+1

=

5

2

p．利用弦長公式：|AB|=

(1+k2)

|x1-x2|．S_△ABN=

1

2

d|AB|，利用三角形ABN的面積S∈[5

5

，45

5

]，即可解出．

解答： 解：（I）如圖所示，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＞x₂）．
直線AB的方程為：y=kx+

p

2

．
聯(lián)立

y=kx+ p 2 x2=2py

，化為x²-2pkx-p²=0，
則x₁+x₂=2pk，x1x2=-p2．
∴x₁-x₂=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4p2k2+4p2

=4k，
解得p=

2|k|

k2+1

．（k＜0也成立）．
（II）∵

MA

•

MB

=4p²，
∴x1x2+(y1+

p

2

)(y2+

p

2

)=4p²，
∴x₁x₂+y₁y₂+

p

2

(y1+y2)+

p2

4

=4p²，（*）
∵y1y2=(kx1+

p

2

)(kx2+

p

2

)=k²x₁x₂+

pk

2

(x1+x2)+

p2

4

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+p．
∴（*）化為：（1+k²）x₁x₂+pk（x₁+x₂）+p²=4p²，
∴-p²（1+k²）+2p²k²=3p²，
解得：k=±2．
對于拋物線方程x²=2py，可得y′=

x

p

．
∴直線AN，BN的方程分別為：y-y1=

x1

p

(x-x1)，y-y2=

x2

p

(x-x2)．
聯(lián)立解得x=pk，y=-

p

2

．
即N(pk，-

p

2

)．
∴點N到直線AB的距離d=

|pk2+ p 2 |

k2+1

=

5

2

p．
|AB|=

(1+k2)

|x1-x2|=

5[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5(4p2k2+4p2)

=10p．
∴S_△ABN=

1

2

d|AB|=

1

2

×

5

2

p×10p=

5 5

2

p2，
∵三角形ABN的面積S∈[5

5

，45

5

]，
∴5

5

≤

5 5

2

p2≤45

5

，
解得

2

≤p≤3．
∴p的取值范圍是：[

2

，3]．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、利用導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率、數(shù)量積運算性質、點到直線的距離公式、弦長公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．