Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，直線

x

a

+

y

b

=1與圓x²+y²=

12

7

相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F₂是橢圓C的右焦點，與坐標軸不平行的直線l經過F₂與該橢圓交于A，B兩點，P是A關于x軸的對稱點，證明：直線BP與x軸的交點是個定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）運用直線和圓相切的條件，即d=r，結合離心率公式及a，b，c的關系，解得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（m，0），P（x₁，-y₁），運用韋達定理，再由B，P，Q三點共線，運用斜率相等，整理轉化為k，m的式子，即可得到m=4．

解答： （1）解：由于橢圓的離心率為

1

2

，則

c

a

=

1

2

，
即有a=2c，b=

3

c，
又直線

x

a

+

y

b

=1與圓x²+y²=

12

7

相切，
則d=

|ab|

a2+b2

=

2 21

7

，即有

2 3 c2

7 c

=

2 21

7

，
解得，c=1，則a=2，b=

3

．
則橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）證明：設與坐標軸不平行經過F₂的直線l的方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程，消去y，得，（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
由于P是A關于x軸的對稱點，則P（x₁，-y₁），
設直線BP與x軸的交點為Q（m，0），
即有k_BP=k_BQ，
即為

y2+y1

x2-x1

=

y2

x2-m

，即有

k(x1+x2-2)

x2-x1

=

k(x2-1)

x2-m

，
化簡可得，2x₁x₂=（m+1）（x₁+x₂）-2m，
即有

2(4k2-12)

3+4k2

=（m+1）

8k2

3+4k2

-2m，
解得，m=4．
即有Q（4，0）．
則直線BP與x軸的交點是個定點（4，0）．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查直線和圓相切的條件，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理，考查三點共線即為斜率相等，考查化簡整理能力，屬于中檔題．