Question

設數列{a_n}滿足條件：a₁=8，a₂=0，a₃=-7，且數列{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差數列．
（Ⅰ）設c_n=a_n+1-a_n，求數列{c_n}的通項公式；
（Ⅱ）求S_n=|c₁|+|c₂|+…+|c_n|

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）由題意可得數列{c_n}是等差數列，利用通項公式即可得出；
（II）設數列{c_n}的前n項和為T_n，可得T_n=

n(n-17)

2

．由c_n≤0，解得n≤9．可得當n≤9時，S_n=-c₁-c₂-…-c_n=-（c₁+c₂+…+c_n）=-T_n．當n≥10時，S_n=S₉+c₁₀+c₁₁+…+c_n=2S₉+T_n，即可得出．

解答： 解：（I）由題意可得數列{c_n}是等差數列；
∵c₁=a₂-a₁=0-8=-8，c₂=a₃-a₂=-7-0=-7，
∴公差d=c₂-c₁=-7-（-8）=1．
∴c_n=-8+（n-1）×1=n-9．
（II）設數列{c_n}的前n項和為T_n，
則T_n=

n(-8+n-9)

2

=

n(n-17)

2

．
由c_n≤0，解得n≤9．
∴當n≤9時，S_n=-c₁-c₂-…-c_n=-（c₁+c₂+…+c_n）=-T_n=

n(17-n)

2

．
當n≥10時，S_n=S₉+c₁₀+c₁₁+…+c_n
=2S₉+T_n
=9×(17-9)+

n(n-17)

2

=

n(n-17)

2

+72．

點評：本題考查了等差數列的通項公式及其前n項和公式、含絕對值的數列求和問題，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．