Question

函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-x²+2x+a（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)減區(qū)間；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)的奇偶性可求得當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=（x+1）²-a-1；從而由二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1）；
（2）易知函數(shù)f（x）在[-1，0）（0，1]上單調(diào)遞增，從而可得

a≥0 -a≤0

；從而解得．

解答： 解：（1）當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，-x＞0；
f（x）=-f（-x）=-（-x²-2x+a）
=x²+2x-a=（x+1）²-a-1；
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，
函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1）；
（2）易知函數(shù)f（x）在[-1，0）（0，1]上單調(diào)遞增，
則若使函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
則

a≥0 -a≤0

；
則a≥0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．