Question

函數f（x）是R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=-x²+2x+a（a∈R）．
（1）求函數f（x）在（-∞，0）上的單調減區(qū)間；
（2）是否存在實數a，使得函數f（x）在[-1，1]上單調遞增？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由函數的奇偶性可求得當x∈（-∞，0）時，f（x）=（x+1）²-a-1；從而由二次函數的性質可求函數f（x）在（-∞，0）上的單調減區(qū)間為（-∞，-1）；
（2）易知函數f（x）在[-1，0）（0，1]上單調遞增，從而可得

a≥0 -a≤0

；從而解得．

解答： 解：（1）當x∈（-∞，0）時，-x＞0；
f（x）=-f（-x）=-（-x²-2x+a）
=x²+2x-a=（x+1）²-a-1；
由二次函數的性質知，
函數f（x）在（-∞，0）上的單調減區(qū)間為（-∞，-1）；
（2）易知函數f（x）在[-1，0）（0，1]上單調遞增，
則若使函數f（x）在[-1，1]上單調遞增，
則

a≥0 -a≤0

；
則a≥0．

點評：本題考查了函數的性質與應用，屬于基礎題．