Question

已知下列命題：
①函數y=2sin（x-

π

4

）在（

3π

4

，

7π

4

）單調遞增；
②當x＞0且x≠1時，lgx+

1

lgx

≥2；
③已知

a

=（1，2），

b

=（-2，-1），則

a

在

b

上的投影值為-

4 5

5

；
④設f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），若f（x）＞0的解集為（2，4）則f（x+1）＜0的解集是（-∞，1）∪（3，+∞）
則其中所有正確的命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：由復合函數的單調性判斷①；利用基本不等式求最值判斷②；由平面向量的數量積運算求出

a

在

b

上的投影值判斷③；由補集思想結合已知求出f（x）＜0的解集，再由函數的圖象平移求得f（x+1）＜0的解集判斷④．

解答： 解：對于①，當x∈（

3π

4

，

7π

4

）時，x-

π

4

∈(

π

2

，

3π

2

)，
∴函數y=2sin（x-

π

4

）在（

3π

4

，

7π

4

）單調遞減，．①錯誤；
對于②，當x＞1時，lgx＞0，lgx+

1

lgx

≥2，
當0＜x＜1時，lgx＜0，lgx+

1

lgx

=-（-lgx+

1

-lgx

）≤-2．②錯誤；
對于③，已知

a

=（1，2），

b

=（-2，-1），則

a

•

b

=-2-2=-4，
又|

b

|=

(-2)2+(-1)2

=

5

，
∴

a

在

b

上的投影值為

-4

5

=-

4 5

5

．③正確；
對于④，設f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），若f（x）＞0的解集為（2，4）則f（x）＜0的解集是（-∞，2）∪（4，+∞），
∴f（x+1）＜0的解集是（-∞，1）∪（3，+∞）．④正確．
∴正確的命題是③④．
故答案為：③④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了三角函數的單調性，考查了向量在向量方向上的投影，是中檔題．