Question

已知y=a ax2-x+1在（

1

2

，

2

3

）內(nèi)滿足對(duì)任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可知，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=a ax2-x+1在（

1

2

，

2

3

）內(nèi)是增函數(shù)，求a得取值范圍，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解a的取值范圍．

解答： 解：由題意可知，a＞0且a≠1．
函數(shù)在（

1

2

，

2

3

）內(nèi)滿足對(duì)任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，
說(shuō)明函數(shù)在（

1

2

，

2

3

）內(nèi)為增函數(shù)．
令t=ax²-x+1，
則y=a^t．
當(dāng)a＞1時(shí)，外層函數(shù)y=a^t為增函數(shù)，
要使y=a ax2-x+1在（

1

2

，

2

3

）內(nèi)為增函數(shù)，
則t=ax²-x+1在（

1

2

，

2

3

）內(nèi)為增函數(shù)，
∵對(duì)稱軸為x=

1

2a

＜

1

2

，
∴t=ax²-x+1在（

1

2

，

2

3

）內(nèi)為增函數(shù)成立，
故a＞1符合題意；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，外層函數(shù)y=a^t為減函數(shù)，
要使y=a ax2-x+1在（

1

2

，

2

3

）內(nèi)為增函數(shù)，
則t=ax²-x+1在（

1

2

，

2

3

）內(nèi)為減函數(shù)，
∵對(duì)稱軸為x=

1

2a

＞

1

2

，
∴要使t=ax²-x+1在（

1

2

，

2

3

）內(nèi)為減函數(shù)，
則

1

2a

≥

2

3

，解得0＜a≤

3

4

．
綜上，y=a ax2-x+1在（

1

2

，

2

3

）內(nèi)滿足對(duì)任意x₁≠x₂，
都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立的a的取值范圍是0＜a≤

3

4

或a＞1．
故答案為：0＜a≤

3

4

或a＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，是中檔題．