Question

某玩具廠(chǎng)生產(chǎn)一種兒童智力玩具，每個(gè)玩具的材料成本為20元，加工費(fèi)為t元（t為常數(shù)，且2≤t≤5），出廠(chǎng)價(jià)為x元（25≤x≤40）．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查知，日銷(xiāo)售量q（單位：個(gè)）與e^x成反比，且當(dāng)每個(gè)玩具的出廠(chǎng)價(jià)為30元時(shí)，日銷(xiāo)售量為100個(gè)．
（1）求該玩具廠(chǎng)的日利潤(rùn)y元與每個(gè)玩具的出廠(chǎng)價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若t=5，則每個(gè)玩具的出廠(chǎng)價(jià)x為多少元時(shí)，該工廠(chǎng)的日利潤(rùn)y最大？并求最大值．

Answer 1

（1）設(shè)日銷(xiāo)售量q=

k

ex

(k≠0)，則

k

e30

=100，∴k=100e³⁰（2分）
∴日銷(xiāo)售量q=

100e30

ex

，
∴y=

100e30(x-20-t)

ex

(25≤x≤40)（6分）
（2）當(dāng)t=5時(shí)，y=

100e30(x-20-t)

ex

(25≤x≤40)
∴y′=

100e30(26-x)

ex

(25≤x≤40)，（9分）
由y'＞0，得25≤x＜26，由y'＜0，得26＜x≤40，
∴函數(shù)在[25，26）上單調(diào)遞增，在（26，40]上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=26時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為ymax=100e4．   （12分）