Question

某玩具廠生產一種兒童智力玩具，每個玩具的材料成本為20元，加工費為t元（t為常數，且2≤t≤5），出廠價為x元（25≤x≤40）．根據市場調查知，日銷售量q（單位：個）與e^x成反比，且當每個玩具的出廠價為30元時，日銷售量為100個．
（1）求該玩具廠的日利潤y元與每個玩具的出廠價x元之間的函數關系式；
（2）若t=5，則每個玩具的出廠價x為多少元時，該工廠的日利潤y最大？并求最大值．

Answer 1

分析：（1）由條件“日銷售量與e^x（e為自然對數的底數）成反比例”可設日銷量函數解析式，根據日利潤y=每件的利潤×件數，即可建立函數關系式；
（2）先對函數進行求導，求出極值點，利用單調性求出函數的最值．

解答：解：（1）設日銷售量q=

k

ex

(k≠0)，則

k

e30

=100，∴k=100e³⁰（2分）
∴日銷售量q=

100e30

ex

，
∴y=

100e30(x-20-t)

ex

(25≤x≤40)（6分）
（2）當t=5時，y=

100e30(x-20-t)

ex

(25≤x≤40)
∴y′=

100e30(26-x)

ex

(25≤x≤40)，（9分）
由y'＞0，得25≤x＜26，由y'＜0，得26＜x≤40，
∴函數在[25，26）上單調遞增，在（26，40]上單調遞減，
當x=26時，函數取得最大值，最大值為ymax=100e4．   （12分）

點評：本題考查數學模型和目標函數的建立，解題的關鍵是把“問題情境”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系抽象成數學問題，在數學領域尋找適當的方法解決，再返回到實際問題中加以說明．