設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），對于任意正實數(shù)m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求f(
1
2
)的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求方程4sinx=f（x）的根的個數(shù)．
（1）令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令m=2，n=
1
2
，則f(1)=f(2×
1
2
)=f(2)+f(
1
2
)，
∴f(
1
2
)=f(1)-f(2)=-1（4分）

（2）設(shè)0＜x1＜x2，則
x2
x1
＞1
∵當(dāng)x＞1時，f（x）＞0
∴f(
x2
x1
)＞0（6分）
f(x2)=f(x1×
x2
x1
)=f(x1)+f(
x2
x1
)＞f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)（10分）

（3）∵y=4sinx的圖象如右圖所示
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又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4
由y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的圖象大致形狀如右圖所示，
由圖象在[0，2π]內(nèi)有1個交點，
在（2π，4π]內(nèi)有2個交點，
在（4π，5π]內(nèi)有2個交點，又5π＜16＜6π，
后面y=f（x）的圖象均在y=4sinx圖象的上方．
故方程4sinx=f（x）的根的個數(shù)為5個（16分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，則a=f（-
3
2
）與b=f（
15
2
）的大小關(guān)系為
a＞b
a＞b
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域為D，若對于任意x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設(shè)函數(shù)f（x）為定義在[0，1]上的非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1，x∈[0，1]； ③當(dāng)x∈[0，
1
4
]時，f（x）≥2x恒成立．則f(
3
7
)+f(
5
9
)=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，則a=f（-數(shù)學(xué)公式）與b=f（數(shù)學(xué)公式）的大小關(guān)系為________．

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設(shè)函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，則a=f（-）與b=f（）的大小關(guān)系為    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：山東省月考題 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x﹣cosx，則a=f（﹣）與b=f（）的大小關(guān)系為（    ）．

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