Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BB₁中點(diǎn)，G是DD₁中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)且BF=

1

3

FC，則GB與EF所成的角為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：以AB、AD、AA₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，可得B、G、E、F各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到 GB與EF方向向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式求出它們所成角的余弦，即可得到答案．

解答： 解：以AB、AD、AA₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為4，
∵E是棱BB₁中點(diǎn)，G是DD₁中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)且BF=

1

3

FC，
∴B（4，0，0），G（0，4，2），E（4，0，2），F(xiàn)（4，1，0）
∴

GB

=（4，-4，-2），

EF

=（0，1，-2）
設(shè)異面直線EF與GB所成角為θ，
則cosθ=

| GB • EF |

| GB |•| EF |

=0，
∴θ=90°，
故答案為：90°

點(diǎn)評(píng)：本題在正方體中求兩條異面直線所成角的余弦值，著重考查了利用空間坐標(biāo)系求向量的長(zhǎng)度和夾角等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．