Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)y＝g（x）滿足條件g（x+3）＝﹣g（x），且函數(shù)為奇函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：

（1）函數(shù)g（x）是周期函數(shù)；

（2）函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；

（3）函數(shù)g（x）為R上的偶函數(shù)；

（4）函數(shù)g（x）為R上的單調(diào)函數(shù)．

其中真命題的序號(hào)為_____（寫出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

由，可得，可得函數(shù)的周期性，利用奇函數(shù)的圖像的對(duì)稱性及函數(shù)圖像的平移變換，可得函數(shù)的對(duì)稱中心，結(jié)合這些條件可探討函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得答案.

解：（1）由題意：，可得，

故函數(shù)是周期函數(shù)，故（1）正確；

（2）由函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)是由向右平移個(gè)單位得到的，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故（2）正確；

（3）由（2）得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得：，

由，可得，故函數(shù)為R上的偶函數(shù)，

故（3）正確；

（4）由（3）得函數(shù)為R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以在R上不是單調(diào)函數(shù)，故（4）不正確；

故答案為：（1）（2）（3）.