已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸兩個端點為A，B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若C，D分別是橢圓長軸的左右端點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P．求證：
OM
•
OP
為定值．
分析：（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)求出a、b的值，從而寫出標準方程．
（2）設(shè)M（2，y0），寫出直線CM的方程，并把它代入橢圓的方程，可求P的坐標，進而得到向量OM、OP的坐標，計算這2個向量坐標的數(shù)量積，得出定值．
解答：解：（1）∵左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸兩個端點為A，B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形，
∴a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2，∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
2
=1．（4分）
（2）C（-2，0），D（2，0），設(shè)M（2，y0），P（x1，y1），
則
OP
=(x1，y1)，
OM
=(2，y0)．
直線CM：y-0=
y0
4
（x+2），即 y=
y0
4
x+
1
2
y0．（6分）
代入橢圓x2+2y2=4，得(1+
y
2
0
8
)x2+
1
2
y
2
0
x+
1
2
y
2
0
-4=0，故次方程的兩個根分別為-2和x1，（8分）
由韋達定理可得x1-2=
-4y02
y02+8
，∴x1= 
-2y02+16
y
2
0
+8
，∴y1=
8y0
y
2
0
+8
．
∴
OP
=( 
-2y02+16
y
2
0
+8
，
8y0
y
2
0
+8
)，（10分）
∴
OP
• 
OM
= 
-4y02+32
y
2
0
+8
+
 8y02
y02+8
=
4y02+32
y02+8
=4 （定值）．（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程的求法、2個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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