已知f（x）=ax2+bx+c，若a+c=0，f（x）在[-1，1]上的最大值為2，最小值為-
5
2
．求證：a≠0且|
b
a
|＜2．
分析：先反設(shè)，再分情況進(jìn)行討論，即可證明．
解答：證明：由a+c=0，可得c=-a，故f（x）=ax2+bx+（-a）．
假設(shè)a=0或|
b
a
|≥2．
（1）由a=0得f（x）=bx，由于b≠0，故f（x）在[-1，1]上單調(diào)，
因此f（x）最大值為|b|，最小值為-|b|．
∴
|b|=2
-|b|=-
5
2
，矛盾表明a≠0；
（2）由|
b
a
|≥2得|-
b
2a
|≥1且a≠0．
∴區(qū)間[-1，1]位于拋物線f（x）=ax2+bx-a的對(duì)稱軸x=-
b
2a
的左側(cè)或右側(cè)．
因此，f（x）在[-1，1]上單調(diào)，其最大值為|b|，最小值為-|b|，這是不可能的．
由此可知假設(shè)不成立，原命題成立，即a≠0且|
b
a
|＜2．
綜上，a≠0且|
b
a
|＜2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查反證法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

例2：已知f（x）=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)（-1，0），是否存在常數(shù)a、b、c，使不等式x≤f（x）≤
x2+12
對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ax2+bx，若1≤f（1）≤3，-1≤f（-1）≤1，則f（2）的取值范圍是
[2，10]
[2，10]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ax2-blnx+2x（a＞0，b＞0）在區(qū)間(
1
2
，1)上不單調(diào)，則
3b-2
3a+2
的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
①若f（x）無零點(diǎn)，則g（x）＞0對(duì)?x∈R成立；
②若f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則g（x）必有兩個(gè)零點(diǎn)；
③若方程f（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，則方程g（x）=0不可能無解
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=ax2-3ax+a2-1（a＜0），則f（3），f（-3），f（
3
2
）從小到大的順序是
f（-3）＜f（3）＜f（
3
2
）
f（-3）＜f（3）＜f（
3
2
）
．

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