Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（a＜0）在x=0處取得極值-1．
（1）設(shè)點(diǎn)A（-a，f（-a）），求證：過點(diǎn)A的切線有且只有一條；并求出該切線方程．
（2）若過點(diǎn)（0，0）可作曲線y=f（x）的三條切線，求a的取值范圍；
（3）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂）處的切線都過點(diǎn)（0，0），證明：f′（x₁）≠f′（x₂）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（a＜0）在x=0處取得極值-1，則f^′（0）=0，f（0）=-1，由此可得b和c的值，然后設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程，把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程即可求得切點(diǎn)坐標(biāo)，從而說明過點(diǎn)A的切線有且只有一條并求出該切線方程；
（2）根據(jù)過點(diǎn)（0，0）可作曲線y=f（x）的三條切線，求出過（0，0）的切線方程方程得，說明該方程應(yīng)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，利用導(dǎo)函數(shù)求出該方程對(duì)應(yīng)函數(shù)的極值，則其極大值要大于0，極小值要小于0，由此列式可求a的取值范圍；
（3）利用反證法，假設(shè)，代入整理后可得x₁+x₂=-2a．再由（2）可得，兩式作差后得到．把x₁+x₂=-2a代入可得，而利用基本不等式得到，從而得到矛盾，說明假設(shè)錯(cuò)誤，得到要證的結(jié)論正確．
解答：（1）證明：由f（x）=x³+ax²+bx+c（a＜0），得：f^′（x）=x²+2ax+b，
由題意可得f^′（0）=0，f（0）=-1，解得b=0，c=-1．
∴．
經(jīng)檢驗(yàn)，f（x）在x=0處取得極大值．
設(shè)切點(diǎn)為（x，y），則切線方程為
即為
把（-a，f（-a））代入方程可得，
即，所以x=-a．
即點(diǎn)A為切點(diǎn)，且切點(diǎn)是唯一的，故切線有且只有一條．
所以切線方程為；
（2）解：因?yàn)榍芯�方程為，
把（0，0）代入可得，
因?yàn)橛腥龡l切線，故方程得有三個(gè)不同的實(shí)根．
設(shè)（a＜0）
g^′（x）=2x+2ax，令g^′（x）=2x+2ax=0，可得x=0和x=-a．
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g^′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，-a）時(shí)，g^′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（-a，+∞）時(shí)，g^′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
所以，當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)g（x）取得極大值為g（0）=1＞0．
當(dāng)x=-a時(shí)函數(shù)g（x）取得極小值，
極小值為．
因?yàn)榉匠逃腥齻�(gè)根，故極小值小于零，，所以．
（3）證明：假設(shè)，則，
所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）=-2a（x₁-x₂）
因?yàn)閤₁≠x₂，所以x₁+x₂=-2a．
由（2）可得，兩式相減可得．
因?yàn)閤₁≠x₂，故．
把x₁+x₂=-2a代入上式可得，，
所以，．
所以．
又由，這與矛盾．
所以假設(shè)不成立，即證得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的極值點(diǎn)間的關(guān)系，訓(xùn)練了反證法，此題綜合性較強(qiáng)，屬于有一定難度的題目．