【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程;
(2)當時,求證:;
(3)若對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)詳見解析;(3).
【解析】試題分析: (1)先由導數(shù)幾何意義得切線斜率,再根據(jù)點斜式求切線方程,(2)構(gòu)造差函數(shù):,再利用導數(shù)求其最小值,即得證,(3)先變量分離,將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求對應函數(shù)最值問題:,其中,再利用導數(shù)求其最小值,可得實數(shù)的取值范圍.
試題解析:(1),,
∴,
又切點坐標為,故所求切線方程為
(2)令,
令,得,
∴當時,,單調(diào)遞減;
當時,,單調(diào)遞增
∴,從而.
(3)對任意的恒成立對任意的恒成立
令,
∴
由(2)可知當時,恒成立,
令,得;,得
∴的增區(qū)間為,減區(qū)間為,
∴
∴實數(shù)的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】近年來,“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便,某共享單車公司“Mobike”計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元,根據(jù)行業(yè)規(guī)定,每個城市至少要投資40萬元,由前期市場調(diào)研可知:甲城市收益與投入(單位:萬元)滿足,乙城市收益與投入(單位:萬元)滿足,設甲城市的投入為(單位:萬元),兩個城市的總收益為(單位:萬元)。
(1)當甲城市投資50萬元時,求此時公司總收益;
(2)試問如何安排甲、乙兩個城市的投資,才能使總收益最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
(1)證明:AC⊥HD′;
(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱錐D′ABCFE的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xln x-(x-1)(ax-a+1)(a∈R).
(1)若a=0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若x>1時,f(x)<0恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們向上的點數(shù)之和不超過5的概率記為p1,點數(shù)之和大于5的概率記為p2,點數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,則
( )
A. p1<p2<p3 B. p2<p1<p3 C. p1<p3<p2 D. p3<p1<p2
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【題目】表示一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80 km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時間之間的函數(shù)關(guān)系,有人根據(jù)函數(shù)圖象,提出了關(guān)于這兩個旅行者的如下信息:
①騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3 h,晚到1 h;
②騎自行車者是變速運動,騎摩托車者是勻速運動;
③騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后追上了騎自行車者;
④騎摩托車者在出發(fā)1.5 h后與騎自行車者速度一樣.
其中,正確信息的序號是________.
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【題目】某地政府鑒于某種日常食品價格增長過快,欲將這種食品價格控制在適當范圍內(nèi),決定對這種食品生產(chǎn)廠家提供政府補貼,設這種食品的市場價格為x元/千克,政府補貼為t元/千克,根據(jù)市場調(diào)查,當16≤x≤24時,這種食品市場日供應量p萬千克與市場日需求量q萬千克近似地滿足關(guān)系:p=2(x+4t-14)(x≥16,t≥0),q=24+8ln (16≤x≤24).當p=q時的市場價格稱為市場平衡價格.
(1)將政府補貼表示為市場平衡價格的函數(shù),并求出函數(shù)的值域.
(2)為使市場平衡價格不高于每千克20元,政府補貼至少為每千克多少元?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)
如圖,四邊形是正方形,△與△均是以為直角頂點的等腰直角三角形,點是的中點,點是邊上的任意一點.
(1)求證: ;
(2)求二面角的平面角的正弦值.
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