如圖，四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，已知，∠APB =∠ADB=60°。
（1）證明：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積；
（3）求PH與平面PAD所成的角的大小
解：（1）證明：因為PH是四棱錐P-ABCD的高，
所以AC⊥PH
又AC⊥BD，
所以AC⊥平面PBD，
又AC平面PAC
所以平面PAC⊥平面PBD。
（2）解：因為四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，
所以HA=HB=
因為∠APB=∠ADB=60°，
所以PA=PB=，HD=HC=1
所以PH=
所以等腰梯形ABCD的面積為
所以四棱錐P-ABCD的體積為。
（3）解：過H作HE⊥AD于E，連接PE，如圖，
則PE⊥AD
∴AD⊥平面PEH
又AD平面PAD，
∴平面PEH⊥平面PAD
過H作HG⊥PE于G，則HG⊥平面PAD
∴∠HPG為PH與平面PAD所成的角
∵，DH=1
∴AD=2
∴
又
∴
即
故PH與平面PAD所成的角為。
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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