解:(1)函數(shù)
=-
=-1+
,故把函數(shù)y=
的圖象向右平移1個(gè)單位,
再向下平移1個(gè)單位,即可得到函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示:
(2)函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(-∞,1)、(1,+∞).
函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是減函數(shù).
證明:設(shè)-3<x
1<x
2<1,則f(x
1)-f(x
2)=
-
=
.
由題設(shè)可得 x
2-x
1>0,x
1-1<0,x
2-1<0,∴
>0,
故有f(x
1)-f(x
2)>0,f(x
1)>f(x
2),故函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,1)上是減函數(shù).
同理可證,函數(shù)f(x)在在(1,+∞)上是減函數(shù).
(3)函數(shù)f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)=(x+1)
3 的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),
在同一個(gè)坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)=(x+1)
3 的圖象,如圖所示,
由于這2個(gè)函數(shù)的圖象僅有2個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
分析:(1)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為
-1+
,故把函數(shù)y=
的圖象向右平移1個(gè)單位,再向下平移1個(gè)單位,即可得到函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示.
(2)函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(-∞,1)、(1,+∞),用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是減函數(shù).
(3)函數(shù)f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)=(x+1)
3 的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),在同一個(gè)坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)=
(x+1)
3 的圖象,數(shù)形結(jié)合可得由于這2個(gè)函數(shù)的圖象僅有2個(gè)交點(diǎn),從而得出結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明,函數(shù)的圖象特征,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.